Pernyataan yang bagi orang biasa salah atau tidak bermakna, dapat dianggap benar bagi matematikawan; bila anda keberatan, ia dapat menuntut bukti penyangkal.
Bahkan matematikawan profesional harus hati-hati tidak kebingungan dalam menyangkal pernyataan matematik yang rumit. Aturannya adalah sebagai berikut:
1. Lawan dari pernyataan [Untuk semua x, P(x) benar]
Adalah [Ada x dimana P(x) tidak benar]
P dalam pernyataan di atas adalah singkatan dari Property (sifat). Secara simbolis pernyataan di atas dapat ditulis
2. Lawan dari pernyataan [Ada x dimana P(x) benar]
Adalah [Untuk semua x, P(x) tidak benar]
Secara simbolis pernyataan di atas dapat ditulis
Aturan ini terlihat masuk akal dan sederhana. Jelas lawan dari pernyataan salah, “Semua bilangan rasional sama dengan 1” adalah “Ada bilangan rasional yang tidak sama dengan 1.”
Namun, dengan aturan yang sama, pernyataan, “Semua buaya berkaki tujuh berwarna jingga dengan bintik biru” adalah benar, karena jika ia salah, maka pasti ada seekor buaya berkaki tujuh yang tidak berwarna jingga dengan bintik biru. Pernyataan “Semua buaya berkaki tujuh berwarna hitam dengan belang putih” juga sama benarnya.
Selain itu, pernyataan matematika tidaklah sesederhana “Semua bilangan rasional sama dengan 1.” Sering kali ada banyak kuantitas dan bahkan para ahli harus hati-hati. Pada sebuah kuliah yang dihadiri Hubbard, tidaklah jelas bagi yang hadir dalam urutan apa kuantitas yang dipakai dosen; sat ia dipinta menuliskan pernyataan yang pasti, ternyata dia tidak tahu dan kuliah menjadi kacau.
Berikut contoh urutan kuantitas sangat penting: dalam definisi kontinuitas dan kontinuitas seragam. Sebuah fungsi f disebut kontinu bila untuk semua x, dan untuk semua epsilon > 0, ada delta > 0 sedemikian hingga untuk semua y, bila |x-y| < delta, maka |f(x)-f(y)| < epsilon. Secara simbolik, f dikatakan kontinyu jika
Sebuah fungsi f dikatakan kontinyu seragam bila untuk semua epsilon > 0. Ada delta > 0 untuk semua x dan semua y sedemikian hingga bila |x-y| < delta, maka |f(x)-f(y)| < epsilon. Secara simbolik, f dikatakan kontinyu seragam jika
Untuk fungsi kontinyu, kita dapat memilih delta berbeda untuk x berbeda; untuk fungsi kontinyu seragam, kita mulai dengan epsilon dan harus mencari sebuah delta yang berlaku untuk semua x.
Sebagai contoh, fungsi f(x) = x2 merupakan fungsi kontinyu namun tidak kontinyu seragam: saat kamu memilih x yang semakin besar, kamu akan memerlukan delta yang semakin kecil bila ingin pernyataan |x-y| < delta untuk menjadikan |f(x)-f(y)| < epsilon, karena fungsi terus naik semakin curam. Namun sin x merupakan kontinyu seragam; kamu dapat menemukan sebuah delta yang bekerja untuk semua x dan semua y.
Referensi
Hubbard, J.H., Hubbard, B.B. 2007. Vector Calculus, Linear Algebra, And Differential Forms: A Unified Approach
No comments:
Post a Comment